class DarkRaha extends com { // разработка приложений
            String a="Главная" b="Контакты" c="О сайте"
};

комплексные числа
вектора, вершины, точки
матрицы
преобразование координат
плоскости, прямые
элементарные функции
пределы
дифф. исчисление
ряды
планиметрия
тригонометрия
логические операции

Справка по математике

Вектора, вершины, точки

Вектор - величина обладающая направлением (в геометрии: направленный отрезок, в физике: скорость, ускорения, сила,...).

Скаляр - величина не обладающая направлением.

модуль вектора

длина вектора, это величина скалярная.

коллинеарные векторы

векторы, лежащие на параллельных прямых.

нуль-вектор

вектор с нулевой длиной, такой вектор коллинеарен любому вектору.

компланарные векторы

три вектора компланарны, если будучи приведенные к общему началу, лежат в одной плоскости.

ось

прямая на которой выделено, одно из ее направлений. Ось можно задать вектором, лежащим на ней и имеющего то же направление.

равенство векторов

два ненулевых вектора равны, если они равнонаправлены и имеют одинаковую длину.

центральное (коническое) проецирование точки A на плоскость P

выберем точку S как центр проекции (точка наблюдателя), проведем прямую через S и точку A. Тогда точка пересечения этой прямой с плоскостью P будет проекцией точки A, а проекцией фигуры называется совокупность проекций каждой точки.

Если точка S бесконечно удалена, то для проекции можно воспользоваться параллельными прямыми, проходящими через точки фигуры. Такая проекция называется параллельной.

Частный случай параллельного проецирования - ортогональное проецирование, когда плоскость проекции перпендикулярна проводимым параллельным прямым через точки фигуры. Именно этот тип проекции используется далее по умолчанию для векторов.

проекция (алгебраическая) вектора

длина вектора a, полученного после проецирования вектора A на ось, и взятого со знаком -, если a и ось противонаправленны.

система координат

Три взаимоперепендикулярные оси проходящие через точку O, образуют прямоугольную систему координат с началом координат в точке O.

Эти три оси называются координатными осями и обозначаются как Ox (ось абсцисс), Oy (ось ординат), Oz (ось апликат).
Возьмем какой-нибудь отрезок за единицу масштаба и отложим его на трех осях в положительном направлении, в результате получим три вектора: i, j, k.

Если поворот совмещающий положительный луч OX с лучом OY по кратчайшему пути происходит против часовой стрелки, когда смотришь со стороны луча OZ, то такая система координат называется правосторонней. Если по часовой стрелки, то левосторонней. Аналогично определяется ориентация любой системы из трех векторов не лежащих на одной плоскости.

радиус-вектор

вектор, имеющий начало в начале координат, а конец в некоторой точке M, называется радиусом-вектором этой точки.

координаты вектора, точки

[прямоугольными] координатами вектора называются алгебраические проекции вектора на оси координат. Координаты точки определяются координатами ее радиус-вектором. В трехмерной графике точку также называют вершиной.

сложение векторов

Если параллельным переносом совместить конец вектора a и начало вектора b, то вектор начало которого совпадает с началом вектора a, и конец совпадает с концом вектора b будет суммой векторов a и b: c=a+b.

Если три вектора, после приведения к общему началу не лежат в одной плоскости, то их сумма равна диоганали параллепипеда, построенного на этих векторах с тем же началом.

операции над векторами

Координаты вектора с=a+b: xc=xa+xb, yc=ya+yb, zc=za+zb.
Координаты вектора с=a-b: xc=xa-xb, yc=ya-yb, zc=za-zb.
Координаты вектора с=m*a: xc=m*xa, yc=m*ya, zc=m*za, где m некоторое число.
Координаты вектора с=a/m: xc=xa/m, yc=ya/m, zc=za/m, где m некоторое число не равное 0.
Длина вектора: |a|=sqrt(x*x+y*y+z*z)

углы между вектором координатными осями

cos(a,Ox)=x/sqrt(x*x+y*y+z*z)=x/|a|
cos(a,Oy)=y/|a|
cos(a,Oz)=z/|a|

признак коллинеарности

вектора a1 и a2 коллинеарны, если

 x2/x1=y2/y1=z2/z1.

Если x2/x1>0, то векторы a1, a2 равнонаправлены.

скалярное произведение

скалярное произведение векторов a,b это произведение их модулей на косинус угла между ними:

a*b=|a|*|b|*cos(a,b) 
или в координатной форме: a1*a2=x1*x2+y1*y2+z1*z2

в частности

векторное произведение

векторное произведение векторов a,b - вектор c:

1. модуль которого равен:

 |c|=|a|*|b|*sin(a,b)

2. приведем векторы a,b к общему началу и достроим до параллелограмма. Вектор c будет перпендикулярен этому параллелограмму и направлен таким образом, чтобы составлять с векторами a,b правую систему.

или в координатной форме:


         |y1 z1| |z1 x1| |x1 y1|
c=a1*a2={|y2 z2|,|z2 x2|,|x2 y2|}

в частности

смешанное произведение

смешанное произведение трех векторов a,b и c есть скалярное произведение вектора а, на векторное произведение векторов b,c или в координатной форме:


           |x1 y1 z1|
a1*(a2*a3)=|x2 y2 z2|
           |x3 y3 z3|

в частности:


Скачать класс Vector.


Рейтинг@Mail.ru