class DarkRaha extends com { // разработка приложений
            String a="Главная" b="Контакты" c="О сайте"
};

комплексные числа
вектора, вершины, точки
матрицы
преобразование координат
плоскости, прямые
элементарные функции
пределы
дифф. исчисление
ряды
планиметрия
тригонометрия
логические операции

Справка по математике

Матрицы

определение

Матрица - множество элементов расставленных в прямоугольной таблице из m строк и n столбцов.


    | a11 a12 a13 a14|
A=  | a21 a22 a23 a24|
    | a31 a32 a33 a34|
    | a41 a42 a43 a44|

квадратная матрица

матрица, у которой число строк равно числу столбцов называется квадратной.

нулевая матрица

матрица, элементы которой равны 0.

главная диагональ

диагональ выходящая из левого верхнего угла матрицы.

единичная матрица

матрица, элементы которой по главной диагонали равны 1, а остальные 0. В русской литературе обозначается буквой E.

след

сумма элементов главной диагонали.

верхне треугольная матрица

матрица, у который элементы ниже главной диагонали равны 0.

нижне треугольная матрица

матрица, у которой элементы выше главной диагонали равны 0.

диагональная матрица

матрица, у которой только элементы на главной диагонали не равны 0.

произведение матриц

В результате умножение матрицы A размера MxN на матрицу B размера NxK получается матрица C размера MxK, каждый элемент которой равен скалярному произведению i строки матрицы А на k столбец матрицы B:


    N
    \--
     \
cik= / aijbjk
    /--
    j=1

При этом не всегда верно и возможно AB=BA, но всегда верно (AB)C=A(BC).

равенство матриц

две матрицы A и B равны, если aij=bij.

сумма матриц

cумма двух одинаковых по размеру матриц:

cij=aij+bij.

При этом A+B=B+A, (A+B)+C=A+(B+C).

умножение матрицы на число

умножение матрицы на действительное число x:

cij=aij*x.

транспанирование

транспанирование квадратной матрицы At:

 aij=atji.

Другими словами поворот матрицы на 90 градусов.

определитель

определителем второго порядка квадратной матрицы A называется число:

      |a11 a12|
det A=|a21 a22|=a11a22-a21a12

определителем третьего порядка квадратной матрицы А называется число

      | a11 a12 a13|
det A=| a21 a22 a23|=a11a22a23+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a11a23a32-a12a21a33.
      | a31 a32 a33|
(det A читается как детерминант A)

минор

минором элемента a матрицы А называется определитель, получаемый из определителя А вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент a.

алгебраическое дополнение

алгебраическим дополнением называется минор, взятый с противоположным знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент, нечетная. Иначе минор берется со своим знаком. Используя алгебраические дополнения определитель третьего порядка можно записать следующим образом:

      | a11 a12 a13|    |a22 a23|    |a21 a23|   |a21 a22|
det A=| a21 a22 a23|=a11|a32 a33|-a12|a31 a33|+a13|a31 a32|=a11Ma11-a12Ma12+a13Ma13.
      | a31 a32 a33|

определитель n порядка

определитель любого порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

свойства определителей

невырожденная матрица

квадратная матрица детерминант которой не равен 0.

обратная матрица

для каждой невырожденной матрицы A порядка n существует обратная матрица A-1, такая, что их произведение равно единичной матрице, т.е. AA-1=E.

ортогональная матрица

матрица, для которой транспонирование дает тот же результат, что и обращение.

система линейных уравнений

Используя определители можно решить систему линейных уравнений:


a1*x+b1*y+c1*z=d1
a2*x+b2*y+c2*z=d2
a3*x+b3*y+c3*z=d3

Примем


    |a1 b1 c1|        |d1 b1 c1|       |a1 d1 c1|        |a1 b1 d1|
det=|a2 b2 c2|,  detx=|d2 b2 c2|, dety=|a2 d2 c2|,  detz=|a2 b2 d2|
    |a3 b3 c3|        |d3 b3 c3|       |a3 d3 c3|        |a3 b3 d3|

тогда решение находится следующим образом:

x=detx/det, y=dety/det, z=detz/det. 

Если det==0, то система не имеет решения.

Если все детерминанты равны 0, то система имеет множество решений (одно из уравнений является следствием двух других)


Cкачать класс Matrix4x4.


Рейтинг@Mail.ru