class DarkRaha extends com { // разработка приложений
            String a="Главная" b="Контакты" c="О сайте"
};

комплексные числа
вектора, вершины, точки
матрицы
преобразование координат
плоскости, прямые
элементарные функции
пределы
дифф. исчисление
ряды
планиметрия
тригонометрия
логические операции

Справка по математике

Дифференциальное исчисление

производная

Производной функции называется предел, к которому стремится отношение бесконечно малого приращения функции к соответствующему бесконечно малому приращению аргумента

f'(x)=Lim ( f(x+Δx)-f(x) )/Δx , где Δx приращение аргумента
      Δx->0

дифференциал

Пусть приращение функции y=f(x) разбито на сумму


Δy=AΔx+α,
где A не зависит от Δx и 
α имеет высший порядок относительно Δx при Δx->0(т.е. намного меньше Δx) 

тогда первый член, пропорциональный Δx называется дифференциалом функции f(x) и обозначается как dy или df(x).

В частности

выражение производной через дифференциалы

Производная функции y по аргументу x равно


y'x = dy/dx = df(x)/dx

правила диффиренцирования


da=0, где a константа
d(a f(x))=a df(x)
d(u v)=udv+vdu
d(u/v)=(vdu-udv)/v2
d(f(x)+f1(x)-f2(x))=df(x)+df1(x)-df(x)

Правила для производных аналогичны (просто разделите эти уравнения на dx)

правило Лейбница


(uv)'=u'v+v'u производная первого порядка
(uv)''=u''v+2u'v'+uv'' производная второго порядка
(uv)'''=u'''v+3u''v'+3u'v''+uv''' производная третьего порядка
...
(uv)(n)=u(n)v+nu(n-1)v'+...
           +(n(n-1)...(n-k+1))/(k!)*u(n-k)v(k)+...+uv(n).

производная сложной функции

Пусть y=f(u), а u=f(x) (т.е. y функция от функции), тогда ее производная равна dy/dx=dy/du * du/dx

теорема Лагранжа о среднем значении

Если функция f(x) дифференцируема в замкнутом промежутке (a,b), то отношение

(f(b)-f(a))/(b-a)

равно значению производной f'(x) в точке s лежащей внутри (a,b). Или другими словами

f(b)-f(a)=f'(s)(b-a)

обобщенная теорема о среднем значении (Коши)

Пусть f'(x), f1'(x), двух функций f,f1 дифференцируемых в замкнутом промежутке (a,b) не обращаются одновременно в нуль нигде внутри этого промежутка.

Пусть при этом одна из функций имеет неравные значения на концах интервала.

Тогда приращения f(b)-f(a), f1(b)-f1(a) данных функций относятся как их производные в некоторой точке s лежащей внутри (a,b)

(f(b)-f(a))/(f1(b)-f1(a))=f'(s)/f1'(s)

формула Тейлора


f(b)=f(a)+f'(a)(b-a)/1!+f''(a)(b-a)2/2!+...+f(n)(a)(b-a)n/n!
         +f(n+1)(s)(b-a)n+1/(n+1)!

Последний член известен как остаточный член в форме Лагранжа и обозначается Rn. Часто Rn уменьшается при увеличении n, и поэтому отбрасывается.

таблица диф. элементарных функций


dxn=nxn-1dx
d(logax)=(dx/x)logae, в частности
  d(ln(x))=dx/x
  d(lg(x))=Mdx/x, где M=0.4343
dax=axln(a)dx , в частности
  dex=exdx
d(sin(x))=cos(x)dx
d(cos(x))=-sin(x)dx
d(tg(x))=dx/(cos2x)
d(ctg(x))=-dx/(sin2x)
d(arcsin(x))=dx/sqrt(1-x*x)
d(arccos(x))=-dx/sqrt(1-x*x)
d(arctg(x))=dx/(1+x*x)
d(arcctg(x))=-dx/(1+x*x)

уравнение касательной к плоской линии f(x)

касательная к плоской линии f(x) в точке M(x0,y0)

(x-x0)/dx=(y-y0)/dy или y-y0=f'(x)(x-x0)

в частности:

Если не понятно, то ниже приведены уравнения эллипса, гиперболы и параболы


x2/a2 + y2/b2=1
x2/a2 - y2/b2=1
2*p*x=y2

нормаль

перпендикуляр к касательной в точке касания

(x-x0)dx+(y-y0)dy=0 или y=-1/(f'(x))*(x-x0)+y0

в большинстве случаев знак произведения * с дифференциалами и производными опускался.

Рейтинг@Mail.ru