class DarkRaha extends com { // разработка приложений
            String a="Главная" b="Контакты" c="О сайте"
};

Мандельброт
IFS
фильтрация
rgb эффекты
интерполяция
определенный интеграл
диффиренциальные уравнения
простые, сложные проценты
сортировка

Алгоритмы

Вычисление определенного интеграла

график

Геометрической интерпретаций определенного интеграла на промежутке [a;b] является площадь, ограниченная осью Ox, графиком подинтегрального выражения и прямыми, параллельными оси Oy и проходящими через точки (a,0) и (b,0). Таким образом, вычисление сводится к приближенному вычислению этой площади.

метод прямоугольников

Самый простой способ это разбиение площади на n прямоугольников, а затем вычислить их сумму

I=(b-a)/n * (y0+y1+..+yn)

метод трапеций

Более точный результат получается, если заменить прямоугольники трапециями

I= (b-a)/n * ( (y0+yn)/2 + y1+y2+..+yn-1 )

формула Симпсона

Аналогичным способом в методе параболических трапеций площадь каждой трапеции заменяется на площадь под графиком параболы проходящей через концы трапеции. Как видно из рисунка для построения параболы на каждом промежутке берется дополнительная точка Mi+1/2(xi+1/2;yi+1/2).

I= (b-a)/(3*n) * ((y0+yn)/2 + (y1+y2+..+yn-1) + (y1/2+y3/2+..+yn-1/2) ) 
или, удваивая число разбиений до 2*n
I= (b-1)/(2*n) * (1/3) * (y0+y2n +4*(y1+y3+..+y2n-1) +2*(y2+y4+..y2n-2) )

формула Ньютона-Котеса

Обобщением двух предыдущих методов является метод Ньютона-Котеса, где на каждом промежутке ищется площадь параболы k-порядка. Для построения каждой параболы требуется k+1 точек.

I=(b-a) * Σki=0 (hi*yi)

Коэффициенты hi не зависят от подинтегрального выражения и их значения можно найти в математической литературе. В прилагаемом примере используется парабола 4 порядка, для которой коэффициенты равны

h0=h4=7.0/90.0, h1=h3=16.0/45.0 h2=2.0/15.0

Скачать класс Integral.


Рейтинг@Mail.ru